• Nyomtatás

Mottó: A világ legnagyobb matematikai
felfedezése a kamatos kamat.
Albert Einstein

 

Miért nem tanítjuk?

Alaptőke duplázódás számítása fejben - a 72-es szabály

 

A tőkeduplázódás szabálya nem csak menedzsereknek

 

Egy több ezer mintás felmérés szerint az átlag magyar ember egyáltalán nem ismeri azt a rendkívül egyszerű, könnyen megtanulható és alkalmazható szabályt, amellyel akár fejben is azonnal ki lehet számolni, hogy adott kamatlábbal bankban elhelyezett tőke (vagy adott hozamú befektetetett összeg) hány év alatt duplázódik meg. Illetve fordítva, adott időtartamig lekötött összeg esetén mennyinek kellene lennie a kamatlábnak, hogy a befektetett/lekötött tőke megduplázódjon.

 

 

Ennek meghatározására szolgál az úgynevezett 72-es szabály, miszerint:

 

 
 

Lekötés időtartama(év) x kamatláb % (k) = 72     (1)
 

 

 

 


Bármennyire hihetetlen, de ennyi az egész. A fenti összefüggés a gyakorlati életben ma használatos banki kamatok illetve realizálható befektetési hozamok tartományában igen nagy pontosságú eredményt ad.

 

Lássunk néhány példát teljesen valós adatokkal.

 

1. Százezer forintot 6%-os nettó kamat esetén hány évre kell lekötni egy bankban, hogy a futamidő végén kétszázezer forintunk legyen?

Az (1) összefüggés alapján év ∙ 6 =72, ahonnan azonnal kapjuk, hogy a lekötés időtartama 72/6 = 12 év

 

2. Kilenc éves befektetés esetén mannyi legyen az éves nettó hozam („kamat”), ha befektetésünket meg akarjuk duplázni?

Az (1) összefüggés alapján 9 ∙ k =72, innen a lekötés hozama  72/9 = 8 %

 

A 72-es szabály elméleti háttere

A kereskedelmi aritmetikai feladatok között az egyik leggyakoribb a kamatos kamat számítása. Ezek egyike-másika transzcendens egyenletekre vezet. Például annak a kérdésnek a megválaszolásához, hogy hány év alatt kettőződik (duplázódik) meg az alaptőke kamatos kamat esetén, az

(1+k/100)év= 2          (2) egyenlet megoldását kell ismerni, ahol
k = az éves kamat %

év = az alaptőke duplázódásához szükséges évek száma

A (2) egyenlet mindkét oldalát logaritmizálva, majd rendezve

év  = lg2 / lg(1+k/100) ≈   69/k   (3)

 

[1] irodalom alapján: „ év ≈ 69/k , ahonnan év ∙ k ≈ 69 és nem 72, amint azt PACIOLI (ejtsd: Paccsioli) írja.”

Kinek van igaza, Juskevicsnek vagy Paciolinak?

Az alábbi Excelben készült táblázat alapján egyértelmű, hogy az (1) szerinti összefüggés a
k =  5-10 % -os tartományban nagyközelítéssel érvényes. Ez éppen az a kamat tartomány, ami a hétköznapi életben a leggyakrabban fordul elő.

 

A

B

C

D

E

1

kamat %
alapadat

év
számított

év x kamat %
számított

év
kerekítve

év x kamat %
kerekítve

2

1

69,66

69,66

70

70

3

2

35,00

70,01

35

70

4

3

23,45

70,35

23

70

5

4

17,67

70,69

18

71

6

5

14,21

71,03

14

71

7

6

11,90

71,37

12

71

8

7

10,24

71,71

10

72

9

8

9,01

72,05

9

72

10

9

8,04

72,39

8

72

11

10

7,27

72,73

7

73

12

11

6,64

73,06

7

73

13

12

6,12

73,40

6

73

14

100

1,00

100,00

1

100
 

Az első sor
képletei:

=LOG(2)/LOG(1+A2/100)

=A2*B2

=KEREKÍTÉS(B2;0)

=KEREKÍTÉS(C2;0)

 

Az  év ∙ kamat %  szorzatra a72 jobb közelítés, mint a 69, tehát mégis csak Paciolinak volt igaza. Ezt egy grafikus programmal - pl. winplot - is nagyon jól lehet szemléltetni, egy koordináta rendszerbe felrajzolni a (3) szerinti pontos logaritmikus összefüggést, valamint a 69/k és 72/k közelítő hiperbolákat.  Az alaptőke duplázódás számítására a táblázat alapján az alábbi összefüggés a gyakorlatban is jól használható, ráadásul a számítás fejben is elvégezhető.

 

Futamidő (év) ∙  kamat %(k)  ≈ 72

 

év ∙ k  ≈ 72

 
 

 

 A 72-es szabályhoz még két megjegyzést tehetünk:

·         ha k értéke 100 %-hoz közeledik, akkor (3) alapján év = 1, vagyis az év ∙ k szorzat is a 100-hoz tart

·         a futamidő és a kamatszázalék nagy pontossággal, egymással fordított arányosságban van

 

Ezt a képletet – esetleg rövid levezetésével együtt - minden középiskolás matematika tankönyv kamatos kamat számítását tárgyaló fejezetének tartalmazni kellene.

Ugyanakkor a logaritmus számítás gyakorlati hasznosságára is jó példa.

 

Csak érdekesség képen jegyzem meg, hogy ezt a képletet – pl. ártárgyalásokon való gyors és egyszerű alkalmazhatósága miatt – az amerikai menedzser kézikönyvek mindegyike tartalmazza, mivel a befektetett/lekötött tőke duplázódási ideje segítségével fejben azonnal kiszámítható.

 

72

A 72-es szám egyéb előfordulásai


1. Egy átlagos növésű felnőtt ember által belátható Földterület nagysága éppen 72 km2.


Látóhatár távolsága [2] szerint:

 

L = a ∙ gyök(2Rh) = 120∙gyök(h)  [km]
 

L = látóhatár távolsága [km]

a = atmoszférikus refrakció(légköri fénytörés) = 1,06

R= a Föld sugara = 6370 km

h = szemmagasság (km)

Ha a szemmagasságot cm-ben akarjuk behelyettesíteni, akkor

                             

 L = 0,38 ∙ gyök(2Rh) [km], ahol h = [cm]


T = a belátható Földterület nagysága = L2∙π [km2]
Pl. 160 cm szemmagasságú ember látóhatára: L = 0,38 ∙ Gyök(160) = 4,8 km
T= L2∙π = 4,82∙3,14 ≈ 72 km2

 

2. Az átlagos emberi pulzusszám 72.

3. A szabályos ötszög oldalaihoz tartozó középponti szög 72⁰.

4. Magyarok által felfedezett egyik elem a Hafnium(72 Hf ), melynek rendszáma szintén 72.
Hevesy György későbbi Nobel-díjas kémikus fedezte fel, az elem Koppenhága latin nevéről lett elnevezve.

 

5. A Mont Blanc csúcsára felvivő kétszintes liftrendszer első liftjének befogadóképessége éppen 72 fő.

6. Az autópályákon Magyarországon megengedett maximális 130 km/h (36,1 m/s) sebesség esetén a megengedett legkisebb követési távolság 70 m. A perspektíva torzítása és a mozgás miatt is igen nehéz feladat megbecsülni a 70 métert. Ennek megkönnyítése érdekében az autópályákra fehér párhuzamos nyilakat festettek fel, amelyek között 72 méter távolság van [4]. (Ezt a távolságot a maximális sebesség esetén éppen 2 másodperc alatt tesszük meg.)

7. A Föld egyenlítője egy pontjának szögsebessége:

ω = 2π/T= 72,72∙10-6 1/s

 

 

Pacioliról röviden [3]


Fra Luca Bartolomeo de Pacioli (névváltozat Paciolo) (1445 – 1514) olasz matematikus és ferences szerzetes. A szülőhelye (Borgo San Sepolcro, Toszkána) után nevezték Luca di Borgo-nak is.

Velencében és Rómában tanult, az 1470-es években lépett be a ferences rendbe, 1497-ig utazó matematika tanár volt, majd elfogadta Lodovico Sforza herceg meghívását, hogy Milánóban dolgozzon. Itt együttműködött Leonardo da Vincivel. Paciolinak több matematikai műve jelent meg:

  • Summa de arithmetica, geometrica, proportioni et proportionalita (Velence1494),
  • Geometria (1509), Euklidész latin fordítása
  • Divina proportione (Velence1509)

A Summa de arithmetica… tartalmazza az első leírást a velencei könyvvezetési módszerről, amely később kettős könyvelés néven vált ismertté. Emiatt Luca Pacioli a „könyvelés atyja”-ként ismert.

Leonardo da Vinci készítette az ábrákat a Divina proportione-hez, abban az időben, amikor matematika leckéket vett Paciolitól. A mű az aranymetszés szabályait tárgyalja, illetve ennek felhasználását az építészetben. A mű ezen kívül tárgyalja a perspektíva használatát a festészetben.

 

 

Varga János

 

Irodalom:

  1. A. P. Juskevics: A középkori matematika története, 446. o.
    (Gondolat, Bp., 1982. 474 p)
  2. J. I. Perelman: SZÓRAKOZTATÓ GEOMETRIA
    Művelt nép Könyvkiadó, Budapest, 1953, 154. o.
  3. Wikipédia: Luca Pacioli
  4. Stanawski Tamás: A követési távolság fizikája, Fizikai Szemle, 2013/7-8, 248. o. --------------------------------------------------------------------------------------

 Megjegyzés: MATLAP 2013/8-ban való megjelenés utáni bővítések

 

Szerző adatai:

Email:                           Ez az e-mail cím a spamrobotok elleni védelem alatt áll. Megtekintéséhez engedélyeznie kell a JavaScript használatát. , Ez az e-mail cím a spamrobotok elleni védelem alatt áll. Megtekintéséhez engedélyeznie kell a JavaScript használatát.             

Mobil:                           30/517-5537       

Lakcím:                8000 Székesfehérvár, Tóvárosi ln. 15. 4/2.