EXPONENCIÁLIS HATVÁNYFÜGGVÉNY egyszerű deriválása logaritmikus differenciálás nélkül

 

 

 Mottók:   - Aki tanít, az kétszeresen tanul.
- Egy a valóság, ezer a ruhája.

 

"A logaritmikus differenciálás módszerét akkor alkalmazzuk, ha a differenciálandó függvény hatvány alakú és mind az alap, mind a kitevő x függvénye. Ezt a függvényt exponenciális hatványfüggvénynek nevezzük [1, 102]."

Az y= f(x)g(x)  típusú exponenciális  hatványfüggvény deriválásakor a differenciálszámítással ismerkedők gyakran az alábbi hibákat követik el:

 ·        a fenti függvényt a g(x) exponenciális függvényként közvetlenül deriválják, ahol az f(x) alapot konstansnak tekintik

 ·        a fenti függvényt f(x)n hatványfüggvényként deriválják, miközben a g(x) kitevőt tekintik konstansnak

 

Egyszer az exponenciális hatványfüggvény deriválását adtam feladatként két magántanítványomnak, és egyáltalán nem csodálkoztam, amikor egyikőjük az első, másik a második hibát követte el. Mint kiderült, még nem ismerték a logaritmikus differenciálás szabályát. Mikor mindketten elmentek, gondolkodni kezdtem, milyen didaktikai módszert alkalmazzak, hogy a fenti hibát többé ne kövessék el. Miközben a hibás végeredményeket nézegettem észrevettem, hogy ha azokat összeadnám, akkor csodák csodájára helyes eredményt kapnék. Ezt természetesen nem akartam elhinni, ezért elővettem Bárczy Barnabás: DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS c. könyvét (Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1977, 280 p. ) és sorra elkezdtem deriválni a IV/7 fejezetben szereplő  exponenciális hatványfüggvényeket a fenti „hibás” módszerek szerint és azok eredményeit összeadva továbbra is minden feladatnál helyes végeredményt kaptam. Ekkor már kezdtem sejteni, hogy ez nem lehet véletlen, valami „új”, általam nem ismert szabályra bukkantam. További vizsgálódásaim alapján rájöttem és bebizonyítottam, hogy ez nem egy hibás, hanem egy teljesen korrekt, módszer, és ráadásul még egyszerűbb is mint a „régi”, logaritmikus differenciálás módszere, mivel gyakorlatilag nem kell újabb szabályt megtanulni és begyakorolni. (Így az első mottó igazolódott.)

 

Ezután következett a könyvtárazás, melynek során egy tucat egyetem –ELTE, BME, Széchenyi István, stb. – és főiskola –Kandó Kálmán, Gábor Dénes, Kodolányi János, stb.- ANALÍZIS könyvét átnéztem, de erről a módszerről egyetlen szerzőnél sem találtam még csak utalást sem.

 

Ebből gondolom, hogy egy kis gyöngyszemre bukkantam, de ha ez már korábban ismert és valaki által bizonyíthatóan publikált szabály, akkor szívesen osztozom vele a párhuzamos felfedezés örömében.

 

Az exponenciális  hatványfüggvény differenciálásának/deriválásának új, egyszerű módszere és lépései tehát a következők:

 

 1.     Deriváljuk a függvényt exponenciális függvényként úgy, hogy az f(x) alapot konstansnak tekintjük.

 

2.     Deriváljuk ismét a függvényt hatványfüggvényként úgy, hogy deriválás közben most meg a g(x) kitevőt tekintjük konstansnak.

 

3.     A két deriválás eredményét adjuk össze, és ha lehetséges, akkor a kapott kifejezést hozzuk egyszerűbb alakra.

 

Bizonyítható, hogy így ugyanazt a végeredményt kapjuk, mintha a függvényt a bonyolultabb logaritmikus differenciálással deriváltuk volna.

 

Ennek a módszernek előnye, hogy

 

·        gyakorlatilag nem igényli újabb szabály ismeretét/megtanulását, hanem a már meglévő tudásra épít

 

·        nagyon könnyű megjegyezni (memorizálni), mert szinte érzi az ember, hogy mivel a deriválandó függvény az exponenciális és a hatvány függvény tulajdonságait egyaránt magán viseli, ennek a deriválás módjában is meg kell nyilvánulnia

 

·        gyorsabb, mert kevesebb lépésből áll, és emiatt

 

·        kisebb a tévedés lehetősége

 

 Didaktikai okokból célszerű lenne az egyetemi/főiskolai tankönyvek legközelebbi kiadásában ezt a deriválási módszert (is) szerepeltetni exponenciális hatványfüggvények differenciálására.

 

Példa: y = xx

y’ =?

I. Megoldás : deriválás a fentiek szerint ismertetett Varga-féle módszerrel1

1. exponenciális függvényként deriválva: ye’ = xx·ln x·1

2. hatványfüggvényként deriválva: yh’ = x xx-1·1= xx

3. A két derivált összege: y’= yh’ + ye’=  xx (1+ln x).

 

1-tanítványaim nevezték el így a módszert, amit könnyen elsajátíthatónak ítéltek

 

Lehet, hogy ez a deriválási módszer is a „KÖNYV”-be való?

 

(Erdős Pál matematikus szerint: "Istennek van egy könyve, amelyben minden tétel és a legjobb - legegyszerűbb, legötletesebb, legrövidebb – bizonyítások/eljárások benne vannak. Ha nem is hiszel Istenben, a Könyvben hinned kell! Talán az Isten maga a Könyv." – hirdette, és ő maga is mindig keresett egyszerűbb bizonyításokat, eljárásokat, ha valamit túl bonyolultnak tartott.)

Mivel a JOOMLA rosszul kezeli a matematikai képleteket ezért a továbbikat lásd az alábbi helyen:

www.picaso.hu/Letoltesek/Publikaciok/

EXPONENCIALIS HATVANYFUGGVENY egyszeru_derivalasa_bizonyitas_nelkul_v5.pdf"

vagy

EXPONENCIALIS HATVANYFUGGVENY egyszeru derivalasa_bizonyitassal_v3.pdf

Varga János

 Irodalom

 1. Bárczy Barnabás: DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1977, 280 p.

 2. Dr. Szelezsén János: Matematika példatár, INOK Kiadó, 2007,303 o.

 

Szerző adatai:

 Név:                              Varga János               

 

Foglalkozás:                  mérnöktanár

 

Email:                           Ez az e-mail cím a spamrobotok elleni védelem alatt áll. Megtekintéséhez engedélyeznie kell a JavaScript használatát.              

 

Mobil:                           30/517-5537       

 

Lakcím:                8000 Székesfehérvár, Tóvárosi ln. 15. 4/2.