A Bernoulli-egyenlőtlenség KÖNYV-be való bizonyítása
Mottó: A matematikában azonban a szépség elválaszthatatlan
a célszerűségtől, általában nem nevezünk szépnek
egy olyan bizonyítást, amely a célt nem a
legrövidebb, legcélravezetőbb úton éri el.
N. G. Csebotarjev
A Bernoulli-egyenlőtlenséget JacobBernoulli svájci matematikus állította fel. Ez az egyenlőtlenség a matematikai analízis egyik legfontosabb tétele,számos összefüggés bizonyításában szerepel segédtételként. Az egyenlőtlenség az alábbi alakú.
(1+x)n ≥ 1+nx (1)
ahol 1+x > 0, azaz x> -1 valós szám, és n tetszőleges pozitív egész szám (n ∈N+)
Egyenlőséget akkor kapunk, ha n=1 és/vagy x=0.
[A szakirodalmak az egyenlőség esetét általában nem hangsúlyozzák ki, vagy az egyenlőséget nem tartalmazó, alábbi un. „szűkebb” Bernoulli-egyenlőtlenséget közölnek és bizonyítanak.
(1+x)n > 1+nx, ahol 1+x > 0 , x ≠ 0, valamint n ≥ 2]
Eddigi bizonyítások
Az eddigi bizonyításokat nem közölöm, azok megtalálhatók a hivatkozott irodalomjegyzék szerinti művekben. A felsoroltakon túl természetesen még nagyon sok tankönyvben szerepel az (1) egyenlőtlenség bizonyítása, de mindegyik bizonyítás bonyolultabb az alábbinál.
Egy nagyon egyszerűbb bizonyítás
A bizonyítás előnye, hogy nem igényel komoly matematikai ismereteket - pl. teljes indukció, határérték számítás, sorfejtés, differenciálszámítás, stb.-, elegendő csupán a mértani sorozat összegképletének ismerete, ami viszont középszintű érettségin is követelmény.
A bizonyítás menete
Vegyük az a1=1, a2=1, a3=1, … an=1 n elemű sorozatot.
Ezt tekinthetjük olyan számtani (aritmetikai) sorozatnak melynél d(differencia) =0, vagy olyan mértani (geometriai) sorozatnak is amelynél q (qvóciens) =1. A sorösszeg mindkét esetben n.
Ha azonban a mértani sorozatnak tekintett fenti sorozat esetén a kvóciens értékét x ≥ o értékkel megnöveljük, akkor q = 1+x ≥ 1 lesz. Ekkor a mértani sorozat mindegyik eleme, így sorösszege is növekedni fog, tehát a mértani sorozat sorösszegének képlete alapján
a1(qn - 1])/(q - 1) ≥ n, behelyettesítés után
[(1+x)n - 1]/[(1+x) - 1] ≥ n,
amelyből rendezés után éppen a Bernoulli-egyenlőtlenség adódik.
Meg kell még vizsgálni az -1<x<0 esetet is.
Ha -1<x<0, akkor 0< q=1+x <1, vagyis a mértani sorozat csökkenő, így a fentiekkel teljesen megegyező gondolatmenet alapján írhatjuk, hogy:
Sgeom ≤ Saritm (az egyenlőség most csak n= 1 esetén teljesül, mivel x ≠ 0)
A mértani (geometriai) sorozat összegképletébe való behelyettesítés után
[(1+x)n - 1]/[(1+x) - 1] ≤ n, amelyből rendezés után ismét az (1) szerinti Bernoulli-egyenlőtlenség adódik.
(Az egyenlőtlenség iránya azért fordul meg, mert a tört eltüntetésekor az egyenlőtlenség mindkét oldalát x-el kell szorozni, melynek értéke most negatív szám.)
A Bernoulli-egyenlőtlenséget ezzel minden megengedett x-re bebizonyítottuk.
Utószó
A székesfehérvári Teleki Blanka Gimnázium matematika szakköre ápolja LÁZÁR DEZSŐ, a holokauszt áldozataként fiatalon elhunyt tehetséges matematikus emlékét. Az 1994. április 18-i emlékünnepség meghívott előadója, és egyben a Lázár-díj átadója ERDŐS PÁL világhírű matematikus volt. Az előadás utáni kötetlen beszélgetés kapcsán mutattam meg Erdősnek ezt a rendkívül rövid és egyszerű bizonyítást, mire ő csak ennyit válaszolt: - Ötletes, a könyvbe való. Én akkor arra gondoltam, hogy a tankönyvekben való megjelenésére céloz. Nemrég tudtam meg, hogy Erdős Pál szerint "Istennek van egy KÖNYVe, amelyben minden tétel és a legjobb bizonyítások benne vannak. Ha nem is hiszel Istenben, a Könyvben hinned kell! Talán az Isten maga a Könyv. - hirdette. Egy matematikus csak akkor lehet nyugodt, ha egy problémának nem csak egy bizonyítását, hanem a Könyvből származó bizonyítását találja meg.”
Erdős maga is sokat foglalkozott a KÖNYVbe való bizonyítások keresésével, még akkor is, ha mások a problémát esetleg már rég megoldották, csak kevésbé szépen.
Varga János
Irodalom
1. Urbán János: Határérték számítás (Mozaik Oktatási Stúdió, Szeged, 1994, 15p)
2. Dr. Gáspár Gyula: Műszaki matematika I. (Tankönyvkiadó, 1968)
3. Reiman István: MATEMATIKA (Műszaki Könyvkiadó, 1992)
4. Internet: WIKIPÉDIA lexikon (www.wikipedia.hu)
5.Pintér Lajos: Analízis I. (5. kiadás, 73. o.)
6. Árokszállási László: Bernoulli-egyenlőtlenség, A Matematika tanítása, 2007 november, 27. o.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
A cikk megjelenésének helye, ideje:
Matlap 2
Ifjúsági matematikai lapok, XVIII. évfolyam, 2014, február
Radó Ferenc Matematikaművelő Társaság
Kolozsvár
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Szerző adatai:
Név: Varga János
Foglalkozás: mérnöktanár
Email: Ez az e-mail cím a spamrobotok elleni védelem alatt áll. Megtekintéséhez engedélyeznie kell a JavaScript használatát. , Ez az e-mail cím a spamrobotok elleni védelem alatt áll. Megtekintéséhez engedélyeznie kell a JavaScript használatát.
Mobil: 30/517-5537
Lakcím: 8000 Székesfehérvár, Tóvárosi ln. 15. 4/2.
Lakossági folyószla. száma: 11773360-00366465 OTP